Дистанційне навчання

Даний матеріал допоможе краще підготуватися до математичних конкурсів, олімпіад, дасть змогу проявити свої вміння та навички, підготуватися до ЗНО, позмагатись один з одним, отримати нову та цікаву інформацію.

Тести-онлайн

№	Предмет	Тема	Сайт	Примітка
1	5 клас Математика	Натуральні числа. Порівняння натуральних чисел. Відрізок. Пряма. Промінь	http://gsgolub.narod.ru/test/5klas.html
2	5 клас Математика	Множення десяткових дробів на розрядну одиницю	http://gsgolub.narod.ru/test/5kl.html
3	7 клас Геометрія	«Найпростіші геометричні фігури та їх властивості. Взаємне розміщення прямих на площині»	http://gsgolub.narod.ru/test/7geom.html
4	7 клас Агебра	«Функція. Знаходження значень функції»	http://gsgolub.narod.ru/test/7algebra.html
5	8 клас Геометрія	"Чотирикутники" (правильних відповідей може бути кілька.)	http://gsgolub.narod.ru/test/8_geom.html
6	9 клас Геометрія	Розв'язування трикутників. Варіант 1. Розв'язування трикутників. Варіант 2	http://www.banktestov.ru/test/?id=5136 http://www.banktestov.ru/test/?id=5143
7	10 клас Геометрія	"Наслідки з аксіом стереометрії"	http://gsgolub.narod.ru/test/10geom.html
8	5 клас Математика		http://distance.edu.vn.ua/math_test/m51.html

Математичні цікавинки

1.     http://formula.co.ua/blog/tsikavi-fakty-pro-matematyku/

2.     http://pustunchik.ua/ua/online-school/math/matematychni-tsikavynky

3.     http://procikave.com/tsikavi-fakti-pro-matematiku.html

Натуральні числа

Натуральні числа 1,2,3,… - це числа, що використовуються для рахування предметів або для вказування порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти арабських цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 0 не є натуральним числом.

Для читання натуральних чисел їх розбивають, починаючи справа, на групи по три цифри в кожній. Три перші цифри праворуч складають клас одиниць, три наступні – клас тисяч, потім йдуть класи мільйонів, мільярдів і т.д. Кожна із цифр класу називається його розрядом.

Із двох натуральних чисел менше те, яке при підрахунку називають раніше. Наприклад, число 8 менше від 12 (записують так: 8 < 12). Коли одне число більше другого, це записують так: 386 > 99.

Найменше натуральне число – 1.
Найбільшого натурального числа не існує.
Множину натуральних чисел позначають символом N.

Дії над натуральними числами

Додавання

а + b = b + а
(а + b) + с = а + (b + с)
а + 0 = 0 + а = а

Як правило, додавання виконується «стовпчиком»:

Віднімання – операція, обернена до додавання.
Якщо в + с = а, то

Якщо а = в, то а - b = а – а = 0

(а + b) – с = (а - с) + b
а – (b + с) = (а - b) – с
а + (b – с) = (а + b) – с
а – (b - с) = а – b + с

При відніманні результат зручно знаходити «стовпчиком»:

Множення

а ∙ b = b ∙ а
а ∙ b ∙ с = а ∙ (b ∙ с)
(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с
(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с
а ∙ 1 = 1 ∙ а = а
а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0
0 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1

Множення краще виконувати «стовпчиком»:

Ділення – операція, обернена до множення.
Якщо b ∙ с = а, то

а : 1 = a
a : a = 1, a ≠ 0
0 : a = 0, a ≠ 0

(а ∙ b) : c = (a :c) ∙ b
(а ∙ b) : c = (b :c) ∙ a
(a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)
Ділення краще виконувати способом «кута»

Подільність натуральних чисел

Дільником натурального числа а називають натуральне число n, на яке а ділиться націло.

Наприклад, дільниками числа 12 є числа 1,2,3,4,6,12. Число 1 є дільником будь-якого натурального числа
Кратним натурального числа a називають натуральне число, яке ділиться на a націло.

 Наприклад, кратними числа 6 є числа 6, 12, 18,…. Числа 0, 2, 4, 6, 8,… називають парними, а числа 1, 3, 5, 7, 9… - непарними.

Ознаки подільності

На 2 діляться числа, остання цифра яких парна.
На 3 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 3.
На 5 діляться числа, у яких остання цифра 5 або 0.
На 9 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 9.
На 10 діляться числа, у яких остання цифра 0.

Ділення натурального числа а на натуральне число b (a > b) може бути як націло, так і з остачею q. Наприклад, при діленні числа 26 на число 8 одержуємо 26 = 8 ∙ 3 + 2, де 3 – частка, 2 – остача. Завжди q < b.
Натуральне число називається простим якщо воно не має інших дільників, крім одиниці і самого себе. Наприклад, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 – прості.
Натуральне число називають складеним, якщо воно має хоча б один дільник, відмінний від одиниці і самого себе. Наприклад, це числа 4, 9, 14, 25.
Кожне складене число n можна розкласти на прості множники. Наприклад,


Один із можливих способів розкладу:

Найбільше натуральне число, на яке ділиться без остачі числа a і b називають найбільшим спільним дільником цих чисел: НСД (a, b). Наприклад, НСД (18,15) = 3
Для знаходження НСД декількох натуральних чисел, треба:

1.     розкласти їх на прості множники;

2.     виявити спільні множники;

3.     знайти добуток цих множників;

Наприклад: знайти НСД (160, 240)


НСД (160, 240) = 24∙5 = 16∙5 = 80

Найменшим спільним кратним натуральних чисел a i b називають найменше натуральне число, яке кратне числам a i b: НСК (a, b). Наприклад, НСК (9, 12)= 36
Щоб знайти НСК декількох натуральних чисел, треба:

1.     розкласти їх на прості множники;

2.     дописати до множників одного із чисел ті множники з розкладу інших чисел, яких немає в першому;

3.     знайти добуток одержаних множників.

Наприклад: Знайти НСК (160, 240)


НСК (160, 240) = 25∙5∙3= 480

Числові вирази і числові рівності

Запис, у якому числа з`єднані знаками дій, називають числовим виразом.
Наприклад, 10∙3+4; (60-2∙5):10.
Записи, у яких знаком рівності поєднано два числових вирази, називають числовими рівностями.Рівність має ліву і праву частини.

Порядок виконання арифметичних дій

Додавання і віднімання чисел називають діями першого ступеня, а множення і ділення чисел – діями другого ступеня.
Якщо числовий вираз містить дії тільки одного ступеня, то їх виконують по порядку зліва направо.
Якщо ці вирази містять дії тільки першого і другого ступенів, то спочатку виконують дії другого ступеня, а потім – дії першого ступеня.
Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконують дії в дужках.
Наприклад, 36: (10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Звичайні дроби

Звичайний дріб - це число у вигляді
де m та n - натуральні числа; число m - чисельник, а n – знаменник дробу.
Із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, чисельник якого більший. Наприклад,

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками , можна привести ці дроби до спільного знаменника, а потім порівняти їх. 

Якщо чисельник дробу менший від знаменника , то дріб називається правильним; якщо чисельник дорівнює або більший за знаменник , то дріб називають неправильним.Так,

- правильні дроби, а

- неправильні дроби.

Правильний дріб менший від одиниці, а неправильний дорівнює або більше одиниці. Ціла частина неправильного дробу - це натуральне число.
Неправильний дріб можна подати у вигляді суми цілого числа і правильного дробу. Наприклад,

Таку суму записують у вигляді мішаного числа без знака «+».

Цілу частину виділяють із неправильного дробу (наприклад, із

)таким чином:

Мішане число (наприклад,

) переводять у неправильний дріб так:

Основна властивість дробу:
Якщо чисельник і знаменник дробу помножили або поділили на одне й те саме натуральне число, то одержимо дріб, що дорівнює даному.
Наприклад,

Ця властивість використовується для того, щоб декілька дробів звести до найменшого спільного знаменника (НСЗ), тобто знайти дроби з однаковими знаменниками , що їм дорівнюють.
Для цього треба:

1.     Знайти НСК знаменників цих дробів, яке і буде НСЗ;

2.     Розділити НСЗ на знаменники даних дробів(одержані числа називають додатковими множниками цих дробів);

3.     Помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

Наприклад, зведіть дроби

до НСЗ.

Рішення:

1.     НСК (9, 6)=18.

2.     Додаткові множники 18: 9=2, 18: 6=3.

3.    

Скороченням дробу називають ділення чисельника і знаменника на їх спільний дільник, відмінний від одиниці. Наприклад,

Дріб, який не можна скоротити, називають нескоротним. При розв’язуванні задач відповідь, як правило, записують у вигляді нескоротного дробу.

Основні задачі на звичайні дроби

1.     Щоб знайти, яку частину одне число складає від другого, треба розділити перше число на друге.
Приклад: за два дні туристи пройшли 10 км, а в перший день - 4 км. Яку частину шляху туристи пройшли в перший день?

Рішення:

2.     Щоб знайти дріб від числа, треба це число помножити на даний дріб(помножити число на чисельник і знайдений добуток розділити на знаменник).
Приклад: площа земельної ділянки складає 800 м2. Дерева насаджені на 2/5 цієї площі. Яку площу займають дерева?

Рішення:

3.     Якщо відомий дріб, який показує, яку частину дане число складає від шуканого, то, щоб знайти шукане число, треба дане число розділити на дріб(поділити число на чисельник і одержану частку помножити на знаменник).
Приклад: ширина прямокутника дорівнює 8 см, що складає 4/5 його довжини. Яка довжина прямокутника?

Рішення:

Дії над звичайними дробами

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати чисельники, а знаменник залишити той самий.

Наприклад,

При відніманні дробів з однаковими знаменниками, від чисельника зменшуваного віднімають чисельник від’ємника, а знаменник залишають той самий.

Наприклад,

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба звести дані дроби до найменшого спільного знаменника, а потім додати (відняти)одержані дроби.

Наприклад,

Щоб додати (відняти) мішані числа, то спочатку треба перевести їх в неправильний дріб, а вже потім виконувати необхідні дії.

Наприклад,

Щоб помножити дріб на дріб, треба добуток чисельників цих дробів записати чисельником, а добуток їх знаменників - знаменником одержаного дробу. Якщо можливо, скоротити одержаний дріб.

Наприклад,

Щоб помножити дріб на число,помножають чисельник на це число.

Наприклад,

Щоб перемножити мішані числа, треба записати їх у вигляді неправильних дробів. А потім скористатися правилом множення дробів.

Наприклад,

Щоб розділити один дріб на другий, треба чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого – на чисельник другого. Перший добуток записати чисельником одержаного дробу, а другий – знаменником.

Наприклад,

Щоб виконати ділення мішаних чисел, треба записати їх у вигляді неправильних дробів, а потім скористатися правилом ділення дробів.

Наприклад,

http://www.testmath.com.ua/Doc/Para11.aspx

Десяткові дроби

Десяткові дроби – це числа зі знаменниками 10, 100, 1000 і т.д., які записують без знаменника. Цілу частину числа відділяють від дробової комою.
Наприклад, 8,127; 0,013; 726,7.

Щоб порівняти два десяткових дроби, треба спочатку зрівняти у них кількість десяткових знаків, приписавши до одного з них справа нулі, а потім, відкинувши кому, порівняти одержані натуральні числа.
Наприклад, 6,345 < 6,36, бо 6345 < 6360

Щоб додати (відняти) десяткові дроби, треба:

1.     Зрівняти в цих дробах кількість знаків після коми, приписавши до одного із них нулі;

2.     Записати їх один під одним так, щоб кома була записана під комою;

3.     Виконати додавання (віднімання), не звертаючи уваги на кому;

4.     Поставити кому у відповіді під комами обох дробів.

Наприклад,

Щоб перемножити два десяткових дроби, треба виконати множення, не звертаючи уваги на кому. В одержаному результаті відділити комою стільки десяткових знаків справа, скільки знаків стоїть після коми в обох множниках разом.
Наприклад,

Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д., треба в цьому десятковому дробі перенести кому на стільки цифр праворуч, скільки нулів стоїть у множнику після одиниці.
Наприклад,

0,45∙10= 4,5; 3,989∙100=398,9

Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число, треба розділити дріб на це число, не звертаючи уваги на кому. Поставити в частці кому, як тільки закінчиться ділення цілої частини.
Наприклад,

Щоб розділити число на десятковий дріб, треба у діленому і дільнику перенести кому праворуч на стільки знаків, скільки їх стоїть після коми і діленому. Після цього виконати ділення на натуральне число.
Наприклад,

41,58:5,4 = 415,8:54 = 7,7;
0,7:0,16 = 70:16 = 4,375.

Щоб звичайний дріб перетворити в десятковий, треба чисельник цього дробу розділити на знаменник.
Щоб розділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д., треба перенести кому в цьому десятковому дробі на стільки цифр ліворуч, скільки нулів в дільнику.
Наприклад,

99.6:10 = 9,96;
0,4:100 = 0,004.

Округлення чисел

Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба замінити нулями всі цифри, що стоять після цього розряду.
Якщо наступна за цим розрядом цифра була 5,6,7,8 або 9, то останню цифру, яку залишають, збільшують на одиницю.
Якщо наступна за цим розрядом цифра була 0,1,2,3 або 4, то цифру розряду, до якого виконується округлення, залишають незмінною.
Наприклад, при округленні до десятків маємо 215128 ≈ 215130; 95393 ≈ 95390,

а до сотень – 215128 ≈ 215100; 95393 ≈ 95400.

Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду дробової частини (до певного десяткового знака), треба відкинути всі десяткові знаки, що стоять після цього розряду.
Якщо перша з відкинутих цифр була 5,6,7,8 або 9 , то останню залишену цифру збільшити на одиницю.
Якщо перша з відкинутих цифр була 0,1,2,3,4, то останню залишену цифру записати без змін.
Наприклад, 4,312 ≈ 4,31; 29,091 ≈ 29,1.

Додатні і від’ємні числа

Координатною прямою називається пряма, на якій вказані початок відліку (точка О), одиничний відрізок ОЕ і напрям. На цій прямій точка О відповідає числу 0, а точка Е – числу +1, а точці С відповідає число +2. Відкладаючи одиничні відрізки вліво від точки О, одержимо числа -1, -2, -3, -4, … . Число, яке показує положення точки на прямій, називають координатою цієї точки. Точка А має координату +4, точка В – координату -3. Записують: A(+4), B(-3).
Числа зі знаком "+" називають додатними. Часто знак "+" опускають.
Числа зі знаком "-" перед ними називаютьвід’ємними.
Нуль (0) не є ані додатним, ані від’ємним числом.
Два числа, які відрізняються одне від одного тільки знаками, називають протилежними.

Наприклад,

Натуральні числа, протилежні їм числа і число 0 називають цілими числами.
Модулем числа "a" називають відстань від початку координат до точки "a".
На рисунку модулі чисел 3 і -3 дорівнюють 3. Модуль позначають символом | |.

Модуль додатного числа і числа 0 дорівнює самому числу:

Модуль від’ємного числа дорівнює протилежному йому числу: |-3|=3, |-4,5|=4,5.
Протилежні числа мають рівні модулі: |a|=|-a|.
Із двох чисел, позначених на координатній прямій, більшим є те число, що лежить правіше і меншим – те, що лежить лівіше. Будь-яке від’ємне число є меншим від будь-якого додатного числа. Із двох від’ємних чисел меншим є те, модуль якого більший.

Дії над додатними і від’ємними числами

Щоб додати два від’ємних числа, треба додати їх модулі і поставити перед одержаним числом знак "-".
Наприклад, -4,5+(-2,2)=-(4,5+2,2)=-6,7.

Щоб додати два числа з різними знаками, треба від більшого модуля відняти менший і поставити перед одержаним числом знак того додатка, модуль якого більший.
Наприклад, 5+(-7)=-(7-5)=-2; -4+7=+(7-4)=+3=3.

Щоб від даного числа відняти друге число, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: a-b=a+(-b).
Наприклад, -16-12=(-16)+(-12)=-(16+12)=-28; (-16)-(-12)=-16+12=-4.

Щоб помножити два числа з різними знаками, треба перемножити модулі цих чисел і поставити перед добутком знак "-".

Наприклад, 4∙(-3)=-12; 2,1∙(-2)=-4,2;

Щоб помножити два від’ємних числа, треба перемножити їх модулі і поставити знак "+".

Наприклад, (-4)∙(-3)=+12=12; (-1,3)∙(-3)=+3,9=3,9;

Щоб розділити від’ємне число на від’ємне число, треба розділити модуль діленого на модуль дільника і поставити знак "+".

Наприклад, (-9):(-3)=+3=3;

При діленні чисел з різними знаками треба розділити їхні модулі і поставити перед часткою знак "-".
Наприклад, (-8):2=-4; 15:(-3)=-5.

Дійсні числа

Число, яке можна записати у вигляді відношення

, де m - ціле число, а n - натуральне число,

називають раціональним числом.

Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді скінченого дробу або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Наприклад,

Нескінченна десятковий дріб, це десятковий дріб, у записі якого після коми міститься нескінченна кількість цифр.

Числа, які не можна подати у вигляді

, називають ірраціональними числами.

Це, наприклад, числа

Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченого неперіодичного десяткового дробу.

Наприклад,

Раціональні числа та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел. Кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої. яку називають числовою прямою. Для числових множин використовуються позначення:
N - множина натуральних чисел;
Z - множина цілих чисел;
Q - множина раціональних чисел;
R - множина дійсних чисел.

Буквені вирази

Буквеними виразами називають записи, в яких числа і букви з’єднані знаками дій.
Наприклад, x-3, x+y, 3a+2b, c:d.

Буквений вираз, який показує залежність між величинами, позначеними буквами, називається формулою.
Наприклад, позначимо довжину шляху буквою S, швидкість рівномірного руху – буквою V, а час – буквою t. Тоді вираз S=V*t є формулою шляху. Із цієї формули можна виразити інші змінні величини: V=S/t - формула швидкості, t=S/V - формула часу.

Перетворення виразів:

1.     При розкритті дужок, перед якими стоїть "+", цей знак і дужки можна опустити.
Наприклад, a+(-b+c+4)=a-b+c+4.

2.     Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "-", слід опустити дужки і знак "-", змінивши знаки всіх доданків у дужках на протилежні.
Наприклад, -(a-b)=-a+b; x-(-y+z)=x+y-z.

3.     Якщо перед дужками стоїть множник, то на нього умножають кожний доданок у дужках.
Наприклад, 6+4(a-b)=6+4a-4b; -4(5-3a)=-20+12a.

Доданки, які мають однакову буквену частину, називають подібними доданками.
Наприклад, 4a і (-5a).

Додавання і віднімання подібних доданків називається зведенням подібних доданків.
Щоб звести подібні доданки треба додаті їх коефіціенти і результат помножити на їх спільну буквену частину.
Наприклад, -4a+6a=(-4+6)a=2a; a-4a+7a=(1-4+7)a=4a.

Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки.
Наприклад, 6x+6y=6(x+y); 2ab+b=b(2a+1).

Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки, а в дужках залишиться сума інших множників.
Наприклад, 6a+6b=6(a+b); 2xy+y=y(2x+1).